View source for LSL Quaternion/ru

{{Multi-lang|Quaternion|/ru|category=LSL}}
{{LSL Header/ru}}{{LSLC|||{{#var:lang}}}}{{LSLC|Types||{{#var:lang}}}}
{{LSLC|Keywords||{{#var:lang}}}}{{Help |Glossary=*}}{{Help/ru|Parent=Linden Scripting Language|Glossary=*}}

==quaternion==
Ключевое слово {{quaternion}}, поддерживаемое компилятором LSL, означает то же самое, что и взаимозаменяемое с <code>{{LSLG|rotation}}</code>.

== Определение и свойства: ==
Кватернионы обобщение комплексных чисел, изобретенные Уильям Роуэн Гамильтон в середине 19-го века. Напомним, что комплексное число является суммой обычного вещественного числа и мнимого числа Bi, где я определяется по формуле:
 i<sup>2</sup> = -1
Для построения кватернионная введем дополнительные обобщенные мнимые единицы J и К с предположениями:
 j<sup>2</sup> = -1;    k<sup>2</sup> = -1;    ijk = -1
Из этих основных определений легко получить умножение соотношений для этих обобщенных мнимых величин:
 ij = k;     jk = i;    ki = j
и
 ji = -k;     kj = -i;    ik = -j
То есть, умножение кватернионов не является коммутативной. В то время как некоммутативные операции в настоящее время известной чертой матричной алгебры и векторного и тензорного анализа, на момент их изобретения идея была радикальной.

Кватернион затем число вида
 Q = a + bi + cj + dk
где '''a''','''b''' и '''c''' - обычные действительные числаДобавление кватернионам достаточно легко, нужно только добавляет соответствующие коэффициенты:
 (a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) = ( a+e) + (b+f)i + (c+g)j + (d+h)k
Результат умножения двух кватернионов могут быть разработаны с использованием продукта отношениях выше, не забывая сохранять порядок терминов в '''i,j,k,''' так как мнимые единицы не коммутируют.
 QR = (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) 
=
 ae + afi + agj + ahk +
 bei - bf + bgij + bhik +
 cej + cfji - cg + chjk  +
 dek + dfki + dgkj - dh
=
 ae + afi + agj + ahk +
 bei - bf + bgk - bhj +
 cej - cfk - cg + chi  +
 dek + dfj - dgi - dh
= 
 (ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i + (ag -bh + ce + df)j + (ah + bg - cf + de)k

А вы думали, умножение комплексных чисел был беспорядок!

Теперь мы можем определить аналог комплексно сопряженные (мы будем использовать обозначения *, но и другие обозначения являются общими):
 Q*= a - bi - cj - dk
Произведение кватернионов и сопряженное является:
 QQ* = (a + bi + cj + dk)(a - bi - cj - dk) =
=
 (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> + d<sup>2</sup>) + (-ab + ba - cd + dc)i + (-ac + bd + ca - db)j + (-ad - bc + cb + da)k
=
 (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> + d<sup>2</sup>)
который выглядит скорее как квадрат евклидовой длины. Если рассматривать тройка (B, C, D) в качестве вектора V, мы можем переписать это квадрат длины, как:
 QQ* = a<sup>2</sup> + ||V||<sup>2</sup>
Первый член, таким образом, часто упоминается как скалярное или иногда действительной части кватерниона, а триплет (б, в, г) в виде векторной части.

== '''quaternion''' и '''rotation''': ==
Поэтому мы заботимся о том, что кватернионам Second Life использует их для представления вращений. Как это делается? Рассмотрим кватернионная представление вектора '''V = (b,c,d)''', который находится всего в кватернионов с нулевой вещественной частью:
  Q(V) = 0 + bi + cj + dk  
Если мы умножим Q некоторыми другими кватернионов, в общем мы получим ненулевой действительной частью, то есть, мы изменили вектор в не-вектор кватернион, который не смотрел на все вроде вращения. Тем не менее, если мы умножим на одной стороне кватернион z, а с другой стороны по мультипликативным обратным z, z<sup>-1</sup>, мы получим результат с 0-значение вещественной части:
 Re[zQ(V)z<sup>-1</sup>]  = 0
-- то есть, мы укажем вектор в вектор. Чтобы увидеть, что это так, заметим, что из формулы умножения, действительная часть произведения двух кватернионов инвариантной к порядку умножения, а именно:
 Re[QR] = Re[RQ].
Так что мы можем поменять местами первый и (второй * третий) кватернионов в отображение без изменения реальной части:
 Re[z(Q(V)z<sup>-1</sup>)]  = Re[(Q(V)z<sup>-1</sup>)z]  = Re[Q(V)(z<sup>-1</sup>z)]  = 0
с кватернионная умножение ассоциативно, и мы предполагали, что Q имеет нулевое значение вещественной части. Эта операция левого умножения кватернионов и правого умножения его на обратной известен как сопряжение z. Читатели, знакомые с матричной алгебре распознает его как похож на разложении матрицы во вращение и масштабирование чистой (диагональная матрица).

При каких условиях сопряжение кватернионов вернуть оригинальные кватернионов?
 '''zQz<sup>-1</sup>  = Q'''  подразумевает   '''zQ = Qz'''
(Который может быть легко показано правой умножения первого выражения '''z'''). Когда делать кватернионам коммутируют? Из выражения для произведения двух кватернионов, напомнив, что реальная коммутирующих частей в целом, у нас есть, например, для умножения часть '''i''':
 (af + be + ch - dg)i + ... =  (eb+ fa + gd - hc)i + ...
в случае, когда умножение коммутативно. Это может быть правдой, если '''ch - dg = 0 or c/d = g/h''', то есть наклон вектора участие в '''(j,k)''' план такой же, как для кватернионов. Так как нет ничего особенного я, это также должно быть верным '''(i,j)''' и '''(i,k)''' планов, то есть два кватернионов должны быть вектором части, которые ориентированы в том же направлении, или, другими словами, чтобы лежат на одной прямой.

Это не слишком трудно показать, что сопряжение также линейна (то есть, сопряженное суммы равно сумме сопряженных), и это легко видеть, что длина вектора часть Q сохраняется при сопряжении. Какой длины с сохранением линейное преобразование сохраняет вектор только тогда, когда его ось совпадает с вектором? Почему -- вращение, конечно. Так сопряжением Q на '''z''' эквивалентна вращающихся векторная часть '''Q''' вокруг оси определяется вектором часть '''z'''.

Давайте попробуем простой случай. Рассмотрим вектор '''V = (1,0,0)''' и соответствующие кватернионов '''Q = 0 + i'''. Вращаться вокруг '''z'''-оси мы должны кватернионную '''z''' вида '''a + ck'''. Тогда сопряжения:
 Q' = (a+c k)(i)(a + ck)<sup>-1</sup>
Что такое обратная '''z'''? Легко видеть, что если мы выбираем и С, так что длина кватернионов равно 1, то обратная равно сопряженное:
 len(z) = 1 = zz*  implies  z* = z<sup>-1</sup>  
так что мы можем написать:
 Q' = (a+c k)(i)(a - ck) = (a+c k)(ai  + cj) = a<sup>2</sup>i + acj + caj - c<sup>2</sup>i  = ( a<sup>2</sup>- c<sup>2</sup>)i + 2acj
с ограничением:
 a<sup>2</sup>+ c<sup>2</sup>  = 1  
это означает, что мы можем написать  '''a = cos(θ/2), b = sin(θ/2)'''  для некоторого угла θ (резон фактора 1/2 станет ясно чуть позже).

Теперь, в условиях я и '''j''' соответственно стали:
 cos<sup>2</sup>(θ/2) - sin<sup>2</sup>(θ/2) = cos(θ)
и
 2 cos(θ/2) sin(θ/2) = sin(θ)
Таким образом, это действительно представляет собой вращение '''k (z)''' оси на угол θ. Мы можем сделать вывод, что в общем случае, для поворота вектора '''V''' вокруг оси '''A= (b,c,d)''' (предполагается нормированной, то есть '''||A||  = 1''') на угол θ, построим кватернионная
 z = cos(θ/2) + sin(θ/2)A = cos(θ/2) + sin(θ/2){bi + cj + dk}
а затем сопряженных кватернионов Q = 0 + V with z :
 Q' = zQz*
, из которых мы извлекаем векторной части:
 Q' = 0 + V'
'''V' ''' есть повернутый вектор '''V'''.  
В Second Life, представляющая кватернионам вращения приведены в виде четырех чисел с плавающей точкой. Первые три векторной части, а последний является скалярной части: '''Q = <Q.x, Q.y, Q.z, Q.s>'''. Что касается второго направления жизни региона, между Восток-Запад направлении оси х, Север-Юг является '''y'''-оси, а вверх-вниз является '''z'''-оси. Напомним, что x-карты к мнимой оси '''i''', '''у''' к '''j''' и '''z-k'''. Мы можем видеть, что это правая система координат, если вы расположите правую руку так, что, не меняя его ориентацию, расширенной показывать пальцем в направлении Plus '''x'''-направление (Восток) и сгибания пальцев направить их в положительном направлении '''y'''-направление (север), затем распространяются пальцем, в плоскости ладони и перпендикулярно к вам пальцы, указывает в направлении плюс '''z'''-направление (вверх). 

По умолчанию углы поворота определяются в радианах, от -π (-pi) до +π (-pi); то есть, мы можем вращать против часовой стрелки (в положительном направлении - от плюс вращающейся оси '''x''' (Восток) через ось Y плюс (Север) в минус оси '''x''' (Запад)) на полпути вокруг, или в направлении по часовой (отрицательные - от плюс вращающиеся оси '''x''' (Восток) через минус оси '''у''' (юг) до минус оси '''x''' (Запад)) направлении половину наоборот, с двух направлений дает тот же физический результат на угол поворота 3,141 радиан или 180 градусов. Таким образом, вращение против часовой стрелки лица указывая Запад, вокруг оси '''z''' на 90 градусов (к точке Южной) составляет:
 <0, 0, 0.707, 0.707>
так как синус и косинус π/4 (половина от угла поворота) есть оба 1/2<sup>0.5</sup>.   
 [[Image:example_rotation.jpg]]
Продолжая вокруг к точке на Востоке является либо
 <0, 0, 1, 0> or <0, 0, -1, 0>
Наклон объекта вправо (то есть, повернув его против часовой стрелки вокруг оси '''х'''), например, путем 90 градусов описывается следующим образом:
 <0.707, 0, 0, 0.707>
качки и вперед (по часовой стрелке вокруг оси '''у''') на ту же сумму в 
 <0, -0.707, 0, 0.707>.
Важно заметить, что отображение одного вектора не уникально определяют соответствующее вращение кватернионов. Например, на рисунке ниже мы видим ряд способов для поворота оси х на оси у. Различные вращение приводит к различным окончательной ориентации ортогональной ('''y''',''' z''') направление.
 [[Image:Alternate_rotations.jpg]]